Einführung

In diesem Kapitel lernen wir ein paar Leute kennen, die im nächsten Kapitel eine Rolle spielen. Wer nicht wissen will woher sie kommen, der kann gleich beim nächsten Kapitel weiter-lesen.

An unserem Kleinstadt-Gymnasium wurde von Schülern der höheren Klassen erwartet, dass sie den Jüngeren Nachhilfestunden gaben für ein eher symbolisches Entgelt (ich glaube es waren 50 Pfennige, somit ein 1/4-EUR job). So wurde ich eines Tages ins Direktorat beordert und mit der mathematischen Förderung von Peter beauftragt. Peter war ein phantasievoller Junge, der die Nachhilfestunde am liebsten mit der Diskussion seiner gerade entstehenden und verblüffend illustrierten Science Fiction Story verbracht hätte. Wir kamen aber doch noch zu den Übungsaufgaben im Buch und begannen mit einer Aufgabe, die Ihnen vermutlich schon einmal begegnet ist: Das Buch bot eine antiquierte Einkleidung des Problems und fragte ob unter einem Seil, das man einmal eng anliegend um die Erdkugel gelegt hat, dann durch Einknoten eines Zusatzstricks um einen Meter verlängert und von einem Heer hilfreicher Eng'lein hat anheben lassen bis es wieder straff ist - ob also nach dieser Prozedur eine Ameise, eine Maus, oder ein Hase unter dem Seil hindurch kriechen könnte. Peter fand die Frage amüsant und dachte sich ganz in die Situation hinein. Mit der himmlischen Art des Seil zu straffen hatte er kein Problem, aber ob sich das Seil nicht dehnen würde angesichts seiner enormen Länge gab er zu bedenken. Meine Erklärung man müsse sich das Seil in dieser Aufgabe 'natürlich' als un-dehnbar vorstellen nahm er sichtlich missmutig auf. Damit sei es aber kein Seil mehr und dann würden wir wieder bloß von 'so geometrischem Zeug' reden, was es ja nicht wirklich gäbe. Trotzdem machte er sich auf den üblichen Lösungsweg, kramte die richtige Formel für den Kreisumfang aus dem Gedächtnis und hatte bald das Ergebnis: ca. 16 cm schwebt das Seil über dem Boden. Wir waren uns einig, dass zumindest Peters Kaninchen keine Schwierigkeit hätte, darunter hindurch zu kriechen. Ich sagte Peter etwas Anerkennendes über sein Rechengeschick und er konterte mit der Frage, ob ich denn das Ergebnis der Rechnung glaube - er jedenfalls könne eine so völlig unplausible Behauptung nicht akzeptieren. Natürlich hielt ich Peter vor, er hätte das Ergebnis doch selbst ausgerechnet. Aber das war, ich ahnte es schon, kein gutes Argument.

Peter stellte richtig, er habe nur das nachgemacht, was man ihm für ähnliche Situationen vorgekaut hätte. Für ihn hätten diese Überlegungen - wenn sie diesen Namen denn verdienten - nicht die geringste Überzeugungskraft. Es sei doch absurd den Durchmesser der Erde einfach als einen Buchstaben zu behandeln, mit diesem dann irgendwie auf dem Papier herumzurechnen und zu glauben das Ergebnis hätte dann etwas mit der Erde, oder einem Seil, zu tun. Jedenfalls hätte er nie etwas gehört, was ihm einen solchen Zusammenhang plausibel gemacht hätte - alle Erklärungen von Lehrern und in Büchern würden doch diesen formalistischen Unsinn schon voraussetzten, anstatt ihn zu erklären. Solchen Unsinn für bare Münze nehmend, könnte man natürlich jede Menge weiteren Unsinn entwickeln, der anfängliche Unsinn würde deswegen nicht überzeugender.

Als Freund von Spionagegeschichten verstand Peter meinen Hinweis , dass eine erdachte Geschichte - wie die fingierte Vergangenheit eines Spions - viel schwieriger überzeugend weitergesponnen werden kann, als sich eine wahre Geschichte von selbst entwickelt. Nun - von Wahrheit werde ich ja wohl nicht sprechen wollen bei den gekünstelten Begriffen der Mathematik, meinte Peter, aber etwas sei vielleicht dran an dem Vergleich. Der unterstellte Umstand, dass sich die Mathematiker nicht immer in Widersprüche mit ihren eigenen Geschichten verwickeln schien ihm zu einer Art Rechtfertigung zu taugen. Allerdings - Peter begann schon wieder zu zweifeln ob die Mathematik wenigstens als gekonntes Lügengespinst Anerkennung verdiene - was wäre leichter als solche Widersprüche bewusst zu übersehen oder diskret unter den Teppich zu kehren? Ich führte ins Feld, dass schon mancher Mathematiker dadurch berühmt geworden sei, dass er einen Fehler im Gedankengebäude eines berühmten Kollegen aufgedeckt hätte, so dass es also einen starken Anreiz gebe, den Unrat unter den Teppichen hervorzuholen. Bei fachlichen Einzelheiten mag das ja so sein, räumte Peter ein, aber wenn, wie er glaube, die ganze Mathematik auf einer Fiktion beruhe - Mathe Fiction sozusagen - dann wären die Mathematiker wohl die Letzten, die ein Interesse hätten, diesen Tatbestand bekannt zu machen.

Die Diskussion hatte damit einen Grad von Allgemeinheit erreicht auf dem man auch die unsinnigste Behauptung plausibel erscheinen lassen kann, wenn es einem an Argumentationskunst nicht mangelt. Ich versuchte daher daher Peters sprudelnden Gedankenfluss wieder auf Konkreteres zu lenken. Auf dem Tisch stand eine große runde Keksdose aus Blech und ich musste nur sagen, diese sei ja ebenso rund wie die Erde, da war Peter schon aufgesprungen und kam mit dem Schneidermaßband seiner Mutter zurück und schlug vor die Sache mit der Seilverlängerung im kleinen Maßstab auszuprobieren. Im Reden überfiel ihn die Einsicht, auf die die Aufgabe hinlenken soll: zwar hatte ich während Peters Rechnung darauf hingewiesen, dass sich also der Radius der Erde 'herausgehoben' hätte. Aber Peter hatte das nur insoweit aufgenommen, dass es also nicht nötig sei, den angegebenen Wert für den Erdradius tatsächlich in eine Formel einzusetzen - Glück gehabt!. Jetzt war ihm aufgegangen, dass die Folge davon ja sein müsse, dass genau dieselben sechzehn Kaninchen-tauglichen Zentimeter auch bei unserem Keksdosenversuch herauskommen würden, wenn es tatsächlich nach der gemachten Rechnung ginge.

Ich bremste Peters Versuchsvorbereitungen und tat so, als ob ich auch nicht sicher wäre, wie der Versuch ausgehen würde. Solange wir das Ergebnis noch nicht wüssten, drängte ich Peter, sollten wir uns klar werden, welche Lehre wir aus dem Ausgang zu ziehen hätten. (Ein lebenskluger Freund meiner Eltern pflegte scherzhaft zu sagen, die sicherste Art sein Leben lang dumm zu bleiben sei, nach jeder Entscheidung zu vergessen, was man vor der Entscheidung gedacht hat.) Peter sagte: "Natürlich wäre ein Ergebnis von sechzehn Zentimetern ein starkes Argument für ..." dabei machte er Kreis-zeichnende Handbewegungen und plötzlich wich die Spannung von seinem Gesicht und machte einem melancholischen Lächeln Platz: die Handbewegungen hatten ihm gezeigt, dass das Ergebnis nicht weit weg vom Rechenergebnis liegen würde. So war es dann auch - bei unserer Keksdose, und auch bei einer Apfelsine. Den Fall eines Rundkörpers von verschwindend kleinem Durchmesser spielten wir dann nur noch im Kopf durch: Ein Kreis, dessen Umfang 1 Meter lang ist, hat einen Radius von etwa 0,016 Metern. Der genaue Zahlenwert ist natürlich - ausgedrückt durch die berühmten Kreiszahl π = 3.14159... - nichts anderes als 1/(2π).

Ich fragte Peter, wo sich in diesem Fall nach seiner Sicht der Dinge die mathematische Fiktion versteckt hätte. Eigentlich, meinte er, sei hier wohl alles mit rechten Dingen zugegangen: alles was wir hier gebraucht hätten sei ja auch in der Schule irgendwie erklärt worden - wie Längen nach Wahl einer Längeneinheit durch Zahlen beschrieben werden, wie mit den Zahlen gerechnet wird, wie Eigenschaften geometrischer Figuren durch Gleichungen zwischen Zahlen ausgedrückt werden; ja sogar in der Physik scheine das zu funktionieren, wie in der ihm wohl bekannten Formel E = m c² ... . Ich fand Peters Zustimmung zur Feststellung, dass im gegebenen Fall die 'mathematische Methode' jedenfalls funktioniert hätte, die ich nochmals zusammenfasste in der Form: Eigenschaften realer Objekte kann man in einer Weise durch Zahlen und Beziehungen zwischen Zahlen beschreiben, dass mathematische Manipulationen mit diesen Zahlen und Beziehungen zu Ergebnissen führen, die Aufschluss über Eigenschaften realer Objekte geben.

Lesefrüchte aus Paul Karlsons prächtigem Buch "Vom Zauber der Zahlen" wiedergebend, erzählte ich Peter wie diese Methode sich zaghaft bei den alten Babyloniern entwickelte und von Pythagoras und seinen Schülern zu großem Erfolg in mannigfachen Anwendungsfeldern geführt wurde. Alte Geschichte interessierte Peter sehr; er war weniger geneigt den alten Griechen einen Hang zum Unfug zuzutrauen, als seinen Zeitgenossen. Jedenfalls verbesserte sich Peters Verhältnis zur Mathematik beträchtlich und seine Schulnoten folgten dieser Entwicklung in erfreulichem Maße.

Bald nach dieser Diskussion mit Peter fragte ich meinen eigenen Mathematiklehrer (dessen Unterricht den meisten Schülern Vergnügen bereitete und der allen Versuchen an seiner Autorität --- der eines kleinen, zart gebauten, dünnhäutigen Mannes --- zu kratzen mit vernichtendem Humor zu begegnen wusste) ob er sich vorstellen könne, dass es in der Mathematik innere Widersprüche gebe, die nur noch niemandem aufgefallen seien. Zunächst einmal, antwortete er, muss ein Mathematiker sich alles vorstellen können. Aber, um auf den Kern deiner Frage zu kommen: Es haben sich tatsächlich Generationen von Mathematikern damit geplagt einen Beweis für die Widerspruchsfreiheit der Mathematik zu finden. Ganz selbstverständlich ist es ja nicht, was das überhaupt bedeuten soll: 'frei von Widersprüchen', wo man doch von den Widersprüchen, die man in Betracht zu ziehen hat, keine Ahnung hat. Jedenfalls hat man die Sache soweit eingegrenzt, dass man in einem präzisen Sinn sagen kann: die Mathematik ist widerspruchsfrei, oder sie ist es nicht. Natürlich glaubten die Mathematiker dass die erste dieser zwei Möglichkeit zutrifft und manche mühten sich einen mathematischen Beweis dafür zu finden. Vergebliche Mühe, stellte sich im Jahr 1931 heraus: man hatte streng bewiesen, dass es einen solchen Beweis nur dann geben kann, wenn die zweite Möglichkeit vorliegt, wenn die Mathematik also Widersprüche birgt. In diesem Fall ist der Beweis natürlich nichts wert, weil er dann ja anerkanntermaßen auf falschen Annahmen beruht. Der Entdecker dieses unerwarteten Sachverhalts hieß Kurt Gödel und war damals gerade 25 Jahre alt. Zwar schon Doktor, aber erst dabei sich irgendwo in seiner Heimat Österreich eine Stelle als Privatdozent zu ergattern. Heute ist die Sache mit der Unbeweisbarkeit der Widerspruchsfreiheit der Mathematik als 'Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz' bekannt.

Das war ja eine schöne Bescherung! Stand es damit um die Glaubwürdigkeit der Mathematik nicht noch schlechter als von Peter geargwöhnt? Und wenn man sich auf die Mathematik nicht verlassen kann, worauf dann? Plötzlich bekam die Sache eine andere Dimension: Wäre die Sache anders gelaufen und hätte man die Widerspruchsfreiheit der Mathematik beweisen können, was wäre damit gewonnen gewesen? Hätte dieser Beweis für jedermann, also etwa für Peter, Überzeugungskraft? Worauf würde diese beruhen? Fragen über Fragen, auf die mir das, was ich von der Mathematik bisher kennen gelernt hatte, keine Antwort bot.

Die Legende um das Nachspiel zur Erfindung des Schachspiels

Die Geschichte ist oft erzählt worden: Der indische Weise Sessa erfand das Schachspiel um seinem König Sheram ein gleichnishaftes Abbild für das Funktionieren seines Reiches zu geben: In Zeiten von Not und Krieg kann der König selbst wenig bewirken, wenn er nicht Schutz und Hilfe durch seine Adeligen und seine Bauern bekommt. Auch ein Bauer kann im Laufe der Geschehnisse zum Retter des Reiches werden. Sheram nahm das Spiel begeistert auf und bot Sessa eine Belohnung nach dessen eigener Wahl. Sessa erbat sich ein Weizenkorn für das erste Feld des Schachbretts, zwei Körner für das zweite Feld, vier Körner für das dritte Feld, also immer für das folgende Feld doppelt so viele Körner, wie für das eben betrachtete. Das Schachbrett hat 64 Felder, wahrscheinlich weniger als der König Köche beschäftigte, und so war sich Sheram sicher, dass mehr als ein paar Säcke Weizen als Sessas Lohn nicht herauskommen würden. Darüber war Sheram verärgert - er sah sich als königlicher Wohltäter nicht recht ernst genommen. Barsch befahl er seinem Schatzmeister sich um die rasche Übergabe des unwürdigen Geschenks zu kümmern. Die Vollzugsmeldung blieb länger aus, als er zu warten gewohnt war und so lies er den Schatzmeister herbeibringen. Den fand er im Zustand höchster Verzweiflung: er könne sich der Sache noch nicht völlig sicher sein, aber es deute sich an, dass Sessas Wunsch nicht erfüllt werden könne, auch wenn man alle Getreidespeicher des Reiches leere.

Damit wollen wir die Geschichte verlassen und uns selbst die Frage stellen, wie viele Weizenkörner der Schatzmeister aufzutreiben hätte. Nicht gänzlich ahnungslos, wie wir sind, liegt es uns nahe den Rechenausdruck

1 + 2 + 2⋅2 + 2⋅2⋅2 + ...

Jeder schulmäßige Zugang mogelt da ganz gewaltig. Er baut - für die Schule völlig zu Recht - auf die Überzeugungskraft des verallgemeinerungsfähigen Beispiels. Durch Übertragung des Beispiels auf ähnlich gelagerte Fälle entsteht (im Idealfall) eine Sicherheit der Anwendung, die auf eine genaue Formulierung allgemeiner Gesetzmäßigkeiten verzichten kann. Jedenfalls bleiben die Mittel im Dunklen, die nötig sind solche allgemeinen Gesetzmäßigkeiten zu beweisen. Mit köstlicher Ironie wird diese Situation in Edmund Landaus berühmtem Büchlein "Grundlagen der Analysis" (1930) angesprochen, das laut Verfasser "zum Teil in usum delphinarum [als Lektüre für Mädchen] geschrieben ist, indem meine Töchter bekanntlich (siehe E. Landau, Vorlesungen über Zahlentheorie, Bd. 1, S. V) schon mehrere Semester studieren (Chemie), schon auf der Schule Differential- und Integralrechnung gelernt zu haben glauben und heute noch nicht wissen warum

x⋅y = y⋅x

Dazu können wir all unsere Vorkenntnisse des Zahlen-Rechnens (Arithmetik) vergessen, denn wir werden uns die Zahlen als Mittel zur Lösung des Sessa-Problems selbst erschaffen. Es wird sich herausstellen, dass die wichtigsten mathematischen Fragestellungen, die uns auf unserem Weg begegnen werden, keimhaft in dieser Aufgabe "das Zahlenreich zu erschaffen" enthalten sind. Wovon können wir angesichts dieser Aufgabe ausgehen? Oder - wie Paul Taylor in seinen 'Practical Foundations of Mathematics' fragt: "How do we begin to lay the foundations of a palace which is already more than 3600 years old?" Bei solch bedeutsamen Fragen ist Inspiration gefragt und in unserem Fall ist eine Münchner Bierwirtschaft der richtige Ort derselben teilhaftig zu werden. Ob wir nun selbst hinter einem Spezi sitzen, oder am allgemeinen Leeren der Bierkrüge teilnehmen - uns wird nicht entgehen, wie die Kellnerin jeden neu herbeigebrachten Bierkrug auf dem zugehörigen Bierdeckel als Strichlein notiert. Muss der Gast dann weiterziehen, hat die Kellnerin auch ohne herausragendes Gedächtnis keine Schwierigkeit den richtigen Preis zu verlangen.

Es leuchtet in diesem Fall ein, dass die Strichliste auf dem Rand des Bierdeckels und die "Anzahl der gebrachten Bierkrüge" in einem so engen Zusammenhang stehen, dass es nicht nötig ist zwischen diesen beiden Kenngrößen für denselben Vorgang zu unterscheiden (jedenfalls, wenn es um's Bezahlen geht). Dies gibt unseren ersten Weg ins Reich der Zahlen vor: Zahlen als Strichlisten. Für diesen Weg möchte ich vorschlagen: Gehen wir zügig und heben uns unsere Beobachtungen und eventuellen Irritationen bis zum Ende des Wegs auf, den wir dann rasch erreicht haben werden. Dann haben wir eine gute Basis darüber zu sprechen.

Unter einer Strichliste wollen wir eine endliche Zeichenkette verstehen, die durch Wiederholung eines einzigen Zeichens entsteht, nämlich des Schrägstrichs '/'. Ist damit der Begriff der Strichliste so exakt festgelegt (definiert), wie es die Mathematik für ihre Begriffe fordert? Die Antwort ist eindeutig "ja". Es ist eine allgemeine Haltung der Mathematik, dass 'der mechanische Umgang mit Zeichenketten', der Teil ihrer Aktivitäten ist, der nicht mehr hinterfragt zu werden braucht. Meist erfolgt dazu der Hinweis, dass sich dieser Umgang (weil 'mechanisch') ja durch ein Computerprogramm nachbilden lässt und so auch außerhalb der Gedankenwelt von Mathematikern nachprüfbar ablaufen kann.

Machen wir uns klar, wie der 'mechanische Umgang mit Zeichenketten', also die mathematische Arbeit auf niedrigstem Niveau, konkret für Strichlisten aussehen soll: Die folgenden Seiten dieses Buches können dabei als Beispiel herhalten, das alle wichtigen Gesichtspunkte verdeutlicht: Strichlisten werden eingebettet in erläuterndem Text hinzuschreiben sein. Die Gliederung der Schreibfläche und die verwendeten Zeichen haben die übersichtliche Beschaffenheit eines mit Computer und Schreibprogramm erstellten Textes. (Natürlich kann auch ein handschriftlicher Text diese Eigenschaft haben, mir fällt es aber nicht leicht den Beweis dafür anzutreten.) Trotz dieser Übersichtlichkeit ist es nützlich für die Niederschrift von Strichlisten eine Kennzeichnung/Markierung zu vereinbaren, um sicher zu sein, dass etwa der eben künstlich verwendete Schrägstrich zwischen zwei Substantiven keine Strichliste im Rahmen unserer "Strichlisten-Mathematik" sein soll. Als solche Kennzeichnung ist der Einschluss zwischen halbe Anführungszeichen praktisch, also die Schreibweise '////' für die Strichliste, die man ohne diese Vereinbarung als //// schreiben würde. Mit der Klärung der Kennzeichnungsfrage ist uns eine Möglichkeit entstanden, die sich als äußerst nützlich erweisen wird: Neben den Strichlisten '///', '//', '/' fällt es nicht schwer auch '' als "Strichliste ohne Strich" oder als "leere Strichliste" anzuerkennen. Wir verabreden ausdrücklich, den Begriff der Strichliste so zu verstehen, dass dieser Fall eingeschlossen ist. Die Mathematik fragt von den Objekten ihres Interesses nicht in erster Linie was sie sind, sondern was man mit ihnen machen kann. Überlegen wir uns also, was man mit Strichlisten anstellen kann. Hier ist ein Vorschlag:

A₁

Von zwei beliebig gegebenen Strichlisten kann man zweifelsfrei feststellen, ob sie gleich sind. Ob sie sich also, was die Gesamtheit ihrer Striche angeht, nicht unterscheiden. Zum Beispiel sind '//' und '//' gleich, während '//' und '///' ungleich sind. Wenn eine Strichliste der Strichliste '' gleich ist, nennt man sie leer.

A₂

Zu jeder gegebenen Strichliste kann man eine neue Strichliste bilden, die eine getreue Kopie derselben ist - die also im obigen Sinne dem Original gleich ist, aber einen anderen Teil unserer Schreibfläche einnimmt, und daher sowohl von ihrem Original, als auch jeder anderen zuvor erzeugten Strichliste unterschieden werden kann. Zum Beispiel ist für gegebenes '///' eine Kopie gegeben durch '///'.

A₃

Jede gegebene nicht leere Strichliste kann man dadurch verändern, dass man den letzten Strich weglässt. Das Ergebnis dieser Veränderung ist wieder eine Strichliste. Zum Beispiel ist für gegebenes '/' die veränderte Strichliste gegeben durch ''.

A₄

Jede gegebene Strichliste kann man dadurch verändern, dass man eine weitere gegebene Strichliste am Ende anhängt. Das Ergebnis dieser Veränderung ist wieder eine Strichliste. Zum Beispiel wird '//' durch Anhängen von '//' verändert zu '////'. Hätten wir nicht die einschließenden Anführungszeichen zum Bestandteil unserer Schreibweise gemacht, wäre das Anhängen einfach durch lückenloses Nebeneinander-Schreiben der gegebenen Strichlisten zu erreichen. So aber muss man noch das Verschwinden des inneren Paars von Anführungszeichen vereinbaren, damit aus nebeneinander geschriebenem '//''//' endlich '////' wird.

Damit haben wir alles beisammen was man braucht um das mathematische Konzept Zahl genau festzulegen. Genauer, sprechen wir hier von den natürlichen Zahlen, unter denen man wohl, als der Begriff gebildet wurde, die Zahlen 1,2,3,... verstand, aber zu denen man heute aus vielerlei Gründen die 'nur halb natürliche' Zahl 0 meist hinzurechnet.

Hier ist nun die Definition der natürlichen Zahlen und ihrer Rechenoperationen Addition und Multiplikation:

B₁

Jede Strichliste ist eine natürliche Zahl und jede natürliche Zahl ist eine Strichliste.

B₂

Für zwei beliebige natürliche Zahlen definiert man ihre Summe als die Zahl, die durch Anhängen der zweiten Strichliste an die erste entsteht.

B₃

Für zwei beliebige natürliche Zahlen m und n definieren wir ihr Produkt m⋅n als die Zahl p, die durch folgenden Vorgang entsteht:

1. Anfangs setzen wir p='' und bilden eine Kopie k von n.
2. Solange k nicht leer ist, hängen wir m an p an und lassen in k einen Strich weg.
3. Wenn k leer ist, sind wir fertig und p ist das Produkt von m und n.

Anfang: p='', k = '//'.

1. Schritt (weil k nicht leer) p='///', k='/'.

2. Schritt (weil k = '/', also nicht leer) p='//////', k=''.

Kein weiterer Schritt weil k=''. Das Resultat ist der letzte Wert von p, also '//////'.

Damit ist unser stummer Eilmarsch überstanden. Jetzt setzen wir uns ans eilig entfachte Lagerfeuer und diskutieren unsere Beobachtungen. - "So geht das aber nicht" meldet sich Peter (woher kommt er nur, mir war gar nicht aufgefallen, dass er mit dabei ist; auch meinen alten Mathelehrer KS entdecke ich mit Erstaunen). "Man kann doch nicht einfach sagen: eine Strichliste ist eine Zahl. Vielleicht wäre noch vertretbar zu sagen: 'stellt eine Zahl dar', oder eine Strichliste 'ist ein Zahlzeichen', oder so etwas ähnliches." - "Gut, gut" kommt mir da KS zuvor, "nach meinem Gefühl kann man das - sozusagen als Fachsprache - gelten lassen. Kürzer und verständlicher wäre das oben Gesagte in Peters korrekter Sprechweise sicher nicht. Meine Toleranz gegen die sprachliche Laxheit unseres Expeditionsleiters (ach ja, das bin ich also doch, Verantwortung inklusive) kommt daher, dass ich weiß, dass man viele andere Darstellungen der natürlichen Zahlen ..." - "Oh, bitte nicht" bremse ich, "diese Pointe wollte ich für später aufheben." - "Einverstanden," sagt KS, "dann also nur eine kurze Bemerkung direkt zur Sache: In der auf John v. Neumann zurückgehenden Zahlenreihe der Mengenlehre schreibt man für

'','/','//','///', …

∅, {∅}, {∅,{∅}}, {∅,{∅},{∅,{∅}}}, …

"Eigentlich sieht unsere kleine Welt der Strichzahlen ganz stimmig aus," meint Lilly, eine blitzgescheite Biologin (mit einigen Semestern Mathematik, so nebenbei), die nun ihr Geld mit Software-Entwicklung verdient, "aber ich bin erst zufrieden wenn ich sie getestet habe". "Getestet? Was verstehen Sie denn darunter?" (KS redet uns alle mit 'Sie' an). "Nun - Sie werden denken, das ist eine Berufskrankheit - für mich ist ein Gedankengebäude erst dann gesichert, wenn man es programmieren kann und es als laufendes Programm wirklich das liefert, weswegen das Gedankengebäude errichtet wurde". - "Für mich ist das ein ziemlich fremdartiger Gedanke." räumt KS ein "Rechnen Computer nicht von vornherein mit Zahlen? Wie soll man ihnen dann unsere Strichlisten-Mathematik beibringen?" "Die Zeiten sind erfreulicherweise schon seit Jahrzehnten vorbei" entgegnet Lilly freundlich, "heute kann man in allen ernsthaften Programmiersprachen mit Zeichenketten so umgehen wie mit Zahlen und all den Tausenden anderer Objekte, die man sich nach ein paar Jahren Programmierpraxis selbst geschaffen hat". "Da ist ja Einiges an mir vorbeigelaufen" wundert sich KS, "es würde mich interessieren wie das genau aussieht." "Kein Problem", sagt Lilly und holt ihren Notebook-Computer aus dem Rucksack, "da ist alles was wir brauchen - in einer halben Stunde sollten wir wissen ob die Strichlisten-Mathematik funktioniert." (Als Industrie-Profi macht Lilly für alles einen Zeitplan. Weil sie - anders als so mancher Industrie-Profi - sich jedesmal Rechenschaft darüber gibt inwieweit sie den Plan hat einhalten können, liegt sie mit ihren Schätzungen meist erstaunlich richtig.) Wir haben uns alle um Lilly und ihren kleinen Computer gedrängt auf dessen Bildschirm wir die Schreibfläche eines ganz normal aussehenden Schreibprogramms sehen. Eine neue Textdatei mit Namen ns.rb hat Lilly schon erzeugt. "Das 'n' steht für 'natürliche Zahlen', das 's' für 'Strichlisten' und '.rb' für das Programm Ruby , das ich mit der F5-Taste starten werde sobald ich in die Datei etwas geschrieben habe, was Ruby versteht" erläutert Lilly die Situation. (Nicht nur programmierende Biologinnen sprechen von ihren Programmier-Hilfsmitteln wie von Menschen; man sieht Peter an, dass ihm solcher Sprachgebrauch zuwider ist.) Lilly schreibt:

puts '////'; puts ''; puts '///'

>ruby ns.rb
////

///
>Exit code: 0


puts '//'=='//'; puts '//'=='///'

true
false


u='///'; v=u.clone; puts u; puts v; puts u==v
puts u.object_id == v.object_id


///
///
true
false


u='/'; puts u.chop!

u='/////'; puts u.chop!.chop!.chop!

//

u='//'; v='//'; u << v; puts u; puts v

//// //

Damit haben wir gesehen, dass Ruby die Methoden A₁ - A₄ zum Umgang mit Strichlisten beherrscht. Ich werde sie jetzt schnell so zusammenbauen, wie es unsere Definitionen B₂ und B₃ von Addition und Multiplikation verlangen. Dazu brauche ich aber ein paar Minuten Konzentration." - "Entschuldigung, ich brauche vorher noch einen Tipp zum Verständnis der vielen Punkte in der Notation" wirft KS ein. - "Klar, das hätte ich sagen sollen: wo man in einer Mathe-Arbeit f(x) schreibt, schreibt man in einer modernen Programmiersprache (meist) x.f" - "Aha," bedankt sich KS "Postfix-Notation, mit Punkt als Trennzeichen, sehr praktisch ... , aber jetzt will ich Ihrer Konzentration nicht länger im Wege sein." So denken wir alle und blicken stumm ins Lagerfeuer und manchmal auf den Bildschirm von Lilly's Computer, der sich zügig mit Zeichen füllt. Nach guten zehn Minuten sieht er so aus:

# Hilfsfunktionen; x und y gehören zur Ruby-Klasse String
def a(x,y) # a wie Addition
   r=x.clone; r << y; r # x+y geht auch
end

def m(x,y) # m wie Multiplikation
   xc=x.clone; r=''; r << y while xc.chop!; r
end

def i(x) # Wert ist eine Ruby-Zahl
   x.length
end

ZeroString=''; OneString='/'

class N
# Natürliche Zahlen als Zeichenketten, hier Strichlisten.
# Für 1,0-Folgen anstelle von Strichlisten (Binärzahlen)
# sind nur die vorausgehenden Definitionen zu ändern

def initialize(s); @e=s.clone; end
# @e wie 'Erbgut', s und @e gehören zur Ruby-Klasse String

def e; @e; end
# macht @e zugänglich

def ==(n); @e.eql?(n.e); end
# n gehört zur Klasse N
# benützt Prüfung von Zeichenketten auf Gleichheit

def clone; N.new(@e); end
# 'new' benützt 'initialize' und damit die Methode 'clone'
# für Zeichenketten

def N.zero; N.new(ZeroString); end
# Strichlisten-freie Form der 0

def N.one; N.new(OneString); end
# Strichlisten-freie Form der 1

def +(n) N.new(a(@e,n.e));end
# Addieren, n gehört zur Klasse N

def *(n) N.new(m(@e,n.e));end
# Multiplizieren, n gehört zur Klasse N

def to_s; i(@e).to_s; end
# Wandlung in Zeichenkette von Dezimalziffern , nur für
# Ausgabe in vertrauter Form nötig: wer kann schon
# Millionen Striche Zählen

end # class N

# Sessa Aufgabe bis Feld zMax
z0=N.zero; z1=N.one
z2=z1+z1; z3=z2+z1; z8=z2*z2*z2; z16=z8+z8; z24=z8*z3
z27=z24+z3; z64=z8*z8
# ein paar Strichzahlen erzeugen wir uns mit den Rechenoperationen
# + und * aus der 1
# zMax=16 # Wert für Tests während der Entwicklung
# zMax=z27 # höchster Wert ohne Speicherfehler
zMax=z64 # bis zu diesem Feld des Schachbretts gehen wir
sum=z0.clone; act=z1.clone; i=z0.clone; t0=Time.now #Startwerte
while i!=zMax # Die Schleife wird zMax mal durchlaufen
   i+=z1; sum+=act; act*=z2
   t1=Time.now; t=t1-t0
   $stdout << "Man braucht " << sum.to_s <<
   " Körner bis zum Feld " << i.to_s << "\n"
   $stdout << " Rechenzeit: " << t.to_s << " Sekunden" << "\n"
   $stdout.flush
end

>ruby ns.rb
...
Man braucht 15 Körner bis zum Feld 4
 Rechenzeit: 0.0 Sekunden
Man braucht 31 Körner bis zum Feld 5
 Rechenzeit: 0.0 Sekunden
Man braucht 63 Körner bis zum Feld 6
 Rechenzeit: 0.0 Sekunden
Man braucht 127 Körner bis zum Feld 7
 Rechenzeit: 0.0 Sekunden
...
und wird dann langsamer und langsamer
...
Man braucht 8388607 Körner bis zum Feld 23
 Rechenzeit: 5.796 Sekunden
Man braucht 16777215 Körner bis zum Feld 24
 Rechenzeit: 11.765 Sekunden
Man braucht 33554431 Körner bis zum Feld 25
 Rechenzeit: 23.718 Sekunden
Man braucht 67108863 Körner bis zum Feld 26
 Rechenzeit: 66.546 Sekunden
Man braucht 134217727 Körner bis zum Feld 27
 Rechenzeit: 178.75 Sekunden
ns.rb:6:in ` << ': failed to allocate memory (NoMemoryError)
from ns.rb:6:in `m'
from ns.rb:35:in `*'
from ns.rb:54
>Exit code: 1

"Trotz aller Computerei wissen wir also immer noch nicht, wie viele Weizenkörner Sessa sich gewünscht hat" kritisiert Peter. "Trotzdem ist die praktische Seite des Problems gelöst" stellt Lilly trocken fest. "Wie das?" kommt es aus unserer Runde. "Mit diesem Ergebnis in der Tasche würde ich mir zutrauen den König zu überzeugen, dass er Sessas Bitte nie erfüllen kann. Ich würde im vorsichtig suggerieren zu Sessa zu sprechen in der Art: 'Oh, weiser Sessa, bei mir hat es leider etwas lange gedauert bis ich die Weisheit hinter Deinem Wunsch erkannt habe; so bitte ich Dich jetzt das Unmögliche gegen das Mögliche zu tauschen und damit einverstanden zu sein, Dich an so vielen Tagen wie ich Köche beschäftige - es sind vierundsechzig - von mir zu einem Festmahl einladen zu lassen. Wir würden dann zu Deinen Ehren eine Partie Schach spielen und jeden Tag würde ein anderer Koch die Bereitung des Mahles leiten. Was hältst Du davon, mein Freund?'. Ich glaube diese Art sich aus der Affäre zu ziehen würde dem König gefallen, auch wenn sie der vermutlich asketischen Lebenshaltung des Weisen Sessa nicht optimal entsprechen würde." "Ganz schön raffiniert" kommentiert Peter, "aber als Lösung der praktischen Seite des Problems kann ich das akzeptieren".

"Eigentlich ging es ja gar nicht um Sessas Problem, als Sie ihren Computer ins Spiel brachten" wendet sich KS an Lilly, "sondern um die experimentelle Untersuchung unseres Ansatzes Zahlen als Strichlisten einzuführen. Was haben wir diesbezüglich gelernt?" "Gut dass Sie darauf zurückkommen - ich hätte das Wichtigste wiedermal vergessen, weil es mir in der kurzen Zeit der Beschäftigung damit selbstverständlich geworden ist. Also, der Test verlief ohne Überraschungen und mit positivem Ergebnis. "Note ?" fragt KS. "Ich würde sagen Eins mit Stern, aber in Ruby-Dingen bin ich nicht objektiv." "Als Chef-Skeptiker hätte ich gerne eine Begründung" meldet sich Peter "aber vorher wollte ich noch wissen wie deine Computerarbeit wirklich abgelaufen ist. Bisher hast du meine diesbezüglichen Beobachtungen nur mit der Erlaubnis beantwortet, die F5-Taste zu drücken." "Ich weiß nicht, ob das ein allgemein interessierendes Thema ist. Ist es etwas Bestimmtes, was du wissen willst?" antwortet Lilly zögerlich. "Ich bin eben neugierig, und die Art des Arbeitens kam mir sehr vertraut vor. So ähnlich mache ich es auch, wenn ich Russische Texte übersetze - was nun mal mein Job ist." "Oha, mit Übersetzten hat das viel zu tun" entgegnet Lilly nun wieder ganz lebendig, weil sie nicht länger das Gefühl hat über etwas zu sprechen, was niemanden interessiert. "Ich habe ein Mini-Software-Projekt im modernen Stil durchgezogen. Dazu habe ich den in allgemeinen Begriffen ja schon gut beschriebenen und durchdachten Problembereich 'Strichlisten-Mathematik' in die Form des Software-Konstrukts 'class' gebracht. 'Represent concepts as classes' ist der Rat von Bjarne Stroustrup, dem Entwickler der Programmiersprache C++, die ich genauso schätze wie Ruby. Bei einem echten Softwareprojekt hat man Dutzende bis Tausende von Klassen."

"Klassen - das klingt ja sehr nach Mengenlehre" wirft KS ein. "Dort ist ja 'Klasse' der Überbegriff und 'Mengen' sind solche Klassen, die selbst Elemente von Klassen sind. Hat das Software-Konstrukt class, wie Sie sagen, damit etwas zu tun?" "Zu tun, sicher, aber ich durchschaue nicht ganz wie. Ich habe mich immer darüber gewundert, dass ich nie etwas dazu geschrieben fand, obwohl sich die Frage doch jedem Programmierer stellt. In meinem Fach, der Zoologie, gibt es natürlich auch Klassen: z.B. die Klassen Fische, Lurche, Reptilien, Vögel, und Säugetiere. Daneben sollen sie auch in Schule, Gesellschaft, Sport, Handel, ... vorkommen. Der Zusammenhang des Software-Konstrukts class mit solchen klassifizierenden Begriffen, wird übrigens in der Informatik-Literatur regelmäßig zur Illustration herangezogen. Schließlich bedeutet ja das von Stroustrup verwendete Wort 'concept' gerade 'Begriff'.

Die Programmiersprachen in denen man Klassen definieren kann, nennt man heute allgemein 'Objekt-orientiert', weil man von dem was da in Klassen zusammengefasst ist als Objekten spricht. Vermutlich hat 'object-oriented' im Englischen nicht diesen Beigeschmack nach Werbeagentur wie ähnliche Bildungen im Deutschen, etwa 'unsere konsequent qualitäts-orientierte Firmenkultur'. Ruby und C++ sind damit Objekt-orientierte Sprachen oder kurz OO-Sprachen. Klassen in diesem Sinn wurden eingeführt von Ole-Johan Dahl und Kristen Nygaard in der Programmiersprache Simula 67 (1967) nach einer Vorstufe SIMULA I (1962-65). "Mich haben die zwei Klassen-Begriffe auch irritiert" melde ich mich zu Wort "und habe gefragt ob wir es hier mit einer Zwei-Klassen-Mathematik zu tun haben. Lange konnte ich gar nicht glauben, dass die Sache so einfach ist: Jetzt verbürge ich mich dafür, dass OO-Klassen auch Klassen im Sinn der Mathematik sind und dass das, was auf Englisch 'x is an instance of class X' heißt, und im Deutschen meist wiedergegeben wird als 'x ist eine Instanz der Klasse X' [obwohl sich das mit dem Bedeutungsumfang des Wortes 'Instanz' im Deutschen schlecht verträgt], mathematisch korrekt ausgedrückt ist durch 'x ist ein Element der Klasse X' geschrieben als 'x ∈ X'. Die Frage, ob eine OO-Klassen selbst wieder Element einer OO-Klassen sein kann, hängt von der Programmiersprache ab. In Ruby besteht diese Möglichkeit (Klassen können hier also auch Mengen sein), aber mir ist noch keine Situation untergekommen, bei der es sich angeboten hätte von dieser Möglichkeit Gebrauch zu machen. Es wird sich bestimmt Gelegenheit bieten auf diesen Punkt zurückzukommen. Jetzt bin ich erst mal gespannt auf die Fortsetzung von Lilly's Bericht."

"Also zurück zu meinem Mini-Projekt: Parallel zur Definition der Klasse habe ich ein Testprogramm geschrieben, so dass jeder Zuwachs bei der Klasse sich durch einen entsprechenden Zuwachs im Testprogramm gleich prüfen lässt. Bei so einfachen Sachen wie hier kann man natürlich auch mal einen Schritt beim Testen überspringen und so habe ich es einrichten können - das ist der Punkt, denn ich mir als kleinen Erfolg anrechne - gleich das Sessa-Problem als Testprogramm zu benützen." "Interessant", wirft Peter ein, "wie will man ein Problem als Test verwenden, wenn man seine Lösung nicht kennt?" "Indem man es in eines verwandelt, dessen Lösung man kennt. Genau das habe ich gemacht, indem ich mein Testprogramm nicht so geschrieben habe, wie es Sessas Problem nahelegt, nämlich stur und stumm von Schachfeld 1 bis 64, sondern mit einer frei wählbaren Nummer des letzten zu bearbeitenden Schachfelds und - darauf bin ich erst ganz zum Schluss gekommen - mit der Anzeige aller Zwischenergebnisse. Das lag für mich nahe, weil ich ja vorher wusste, dass in meinen Computer nicht 'so viele Striche hineinpassen' wie für 64 Felder herauskommen würden. Obwohl also naheliegend, hat dieser kleine Trick doch viel Ähnlichkeit mit den großen Tricks in der Mathematik und auch mit den Tricks, die man bei schwierigen Aufgaben im Beruf manchmal nötig hat. Sessas Problem kann im Kopf so mit der 'magischen Zahl' 64 verbunden sein, dass man eine geistige Fessel sprengen muss, um zu erkennen, dass man dasselbe Spiel mit jeder anderen Zahl auch machen kann, zum Beispiel mit vier Feldern 1+2+4+8=15." "Wenn ich mich recht erinnere, haben wir dafür schon in der Schule eine fertige Formel verwendet - war es nicht einfach 2⁶⁴, im Fall des vollen Schachbretts?" wirft Peter ein. "Genau genommen 2⁶⁴ - 1" weiß Lilly "das macht, wenn man statt 64 nur 4 verwendet schon einen Unterschied, eben den zwischen 16 und den gerade als richtig erkannten 15." "Jetzt fühle ich mich ganz komisch im Kopf." spricht Peter vor sich hin "Bisher hat mir unsere Reise von den Bierdeckeln bis zum Stress des Schatzmeisters ganz gut gefallen und sie schien eine gewisse innere Logik zu haben. Welchen Sinn hat das Ganze aber, wenn wir die Lösung doch schon kennen?" "Denk an Landaus Töchter!" versuche ich Peters trübe Gedanken zu zerstreuen. "Wer mit Formeln nach Schüler-Art umzugehen versteht, der muss nicht wirklich wissen, was er tut. Wir sind ja dabei zu erkunden, worauf man das Zahlen-Rechnen zuverlässig und funktionierend begründen kann. Dass unsere Schul-Rechenkunst im Prinzip ausreichen würde um die Sessa-Zahl zu berechnen war uns doch von vorn herein klar." "Also gut, wechsle ich wieder vom Sinnsucher zum Chef-Skeptiker. Lilly, du wolltest noch erklären warum du mit deinem Programmiertest so zufrieden warst." "Weil er gezeigt hat, dass man die Natürlichen Zahlen als Ruby-Klasse so programmieren kann, dass nichts von Ruby's eingebautem 'Zahlenverständnis' benützt wird, sondern allein unsere Methoden A₁ - A₄ zum Umgang mit Zeichenketten und die einfachsten Hilfsmittel zum Formulieren von Rechenvorschriften, nämlich der Gebrauch von Variablen, die Wertzuweisung, und die 'while-Schleife'. Diese Hilfsmittel wurden auch in unserer weniger formgebundenen Erklärung B₃ benötigt. Dass das gehen würde, davon war ich schon vorher überzeugt, aber dass das Ergebnis so schön übersichtlich sein würde, das hat mich doch etwas überrascht." "Nun, übersichtlich schon, aber so ganz durchsichtig ist mir die Sache noch nicht" wirft KS ein "es wäre schade, wenn ich auf meine alten Tage noch Ruby lernen müsste, um den Anschluss an Ihre Erkenntnisse halten zu können." "Geht mir auch so ... ", "Genau", ... kommt es aus unserer Runde. "Ich bin überzeugt, dass Ihnen Ruby-Lernen bald gefallen würde" wendet sich Lilly wieder an KS, "aber nötig sollte es nicht sein. In den wichtigsten Teilen ist Ruby einfach Mathematik. Ich glaube, wir sollten uns einfach die zwei wichtigsten Stellen in unserem Programm genauer ansehen, dann wird die einfache Logik dahinter erkennbar. Die wichtigsten Stellen sind natürlich die, mit denen die Multiplikation von N-Zahlen definiert wird. Die Definition der Addition ist etwas zu simpel. Es geht also um die Definition

def m(x,y) # m wie Multiplikation
   xc=x.clone; r=''; r << y while xc.chop!; r
end

class N
...
def *(n) N.new(m(@e,n.e));end
...
end

#... x und y gehören zur Ruby-Klasse String

1. xc=x.clone
2. r=''
3. r << y while xc.chop!
4. r


xc=x.clone

r=''

r << y while xc.chop!

while xc.chop!
   r << y
end

Hier gibt es einen sehr interessanter Punkt, den ich vielleicht schon bei unserer ersten Begegnung mit chop! hätte hervorheben sollen und der eigentlich schon bei unseren Feststellungen A₃ und A₄ angebracht gewesen wäre. In der Mathematik findet man höchst selten, dass einer Variablen, wenn sie mal einen Wert erhalten hat, im Verlauf einer Rechnung oder eines Beweises später ein anderer Wert gegeben wird; beim Programmieren indessen ist das die Regel. Ruby kennt (wie C++ und Java) die verändernden Rechenoperationen += und *= (um die wichtigsten zu nennen). Nach Ausführung von x+=1 hat x einen um 1 größeren Wert als zuvor. Es hat also die Wirkung von x=x+1. Hat man in Ruby in einer Klasse die normalen (erzeugenden) Operationen + und * definiert (wie wir für class N), so sind += und *= gleich automatisch mitdefiniert. Ich habe diese Operationen in meinem Testprogramm ja auch verwendet. Das ist hier allerdings nicht annähernd so effektiv, als würde ich *= und += selber als verändernde Operationen ohne überflüssiges Kopieren von Daten definieren. Leider erlaubt Ruby das nicht (der Versuch die Operation *= zu definieren wird als Grammatikfehler eingestuft und abgelehnt). Aber niemand verbietet veränderndes Addieren und Multiplizieren unter anderem Namen zu definieren, etwa als a! und m!. Macht man das in nächstliegender Weise (so habe ich angefangen), und schreibt im Testprogramm

i.a!(z1); sum.a!(act); act.m!(z2)

i+=z1; sum+=act; act*=z2

Kehren wir nach dieser Abschweifung wieder zu unserer While-Schleife zurück und dort zu dem Ausdruch xc.chop!. Der Rückgabewert des Ausdrucks ist interessant: Ist xc nicht leer, so ist alles normal und der Rückgabewert ist, wie für verändernde Ausdrücke üblich, die Adresse von xc. Ist xc dagegen leer, so kann die chop!-Methode nicht in üblicher Weise ausgeführt werden. Die plausibelste Reaktionsweise ist xc nicht zu ändern und das Besondere der Situation durch den Rückgabewert zu signalisieren: Er ist dann die Adresse eines schon existierenden unveränderbaren Warnungs-Objekts mit Namen nil." - "Das ist ja interessant!" unterbricht KS "Das erinnert mich an eine alte Idee von mir, bei der ich mir nie klar wurde, ob ich sie nur als einen Jux oder als etwas Vernünftiges ansehen soll." - "Jux ist immer gut" meint Peter "ich bitte um einen diesbezüglichen Einschub und bin bereit Lilly's Gedankenfaden am nächsten Busch festzuknoten, damit wir ihn wieder aufnehmen können, wenn der Jux vorüber ist." Die Zustimmung zu Peters Vorschlag ist allgemein, und so sieht sich KS gedrängt von seiner Idee zu berichten: - "Wenn in der Schule das Dividieren behandelt wird, man also Terme der Form Zähler/Nenner betrachtet, stellt sich die Frage, wie man mit der Möglichkeit Nenner = 0 umgeht. Oft wird gesagt: 'Durch Null darf man nicht dividieren'. Das ist nach meinem Empfinden ein ziemlicher Stilbruch, denn die Mathematik ist ja keine moralische oder juristische Instanz, die sagt, was man darf und was nicht." - "Das hab ich aber anders in Erinnerung" wirft Peter ein "hieß es nicht immer, 'man darf nicht Äpfel zu Birnen addieren, man muss das Vorzeichen umkehren, wenn man einen Term von einer Gleichungsseite auf die andere bringt ..." - "Ich nehme an, heute können Sie sich den richtigen Reim darauf machen." - "Ich bin da nicht ganz sicher." - "Nun, im Sinnzusammenhang der Schule ist das ja ganz richtig. Unterstellen wir, ein Schüler will (muss ?) eine brauchbare Mathe-Note erreichen, dann darf er tatsächlich nicht 5a+8b=13 rechnen, und muss sich tatsächlich an die paar wenigen Rechenregeln halten. Aber im Sinnzusammenhang der Mathematik selbst sollte man das anders ausdrücken. In unserem Fall der Division durch Null ist eine Möglichkeit zu sagen: 'Das Ergebnis einer Division durch Null ist nicht definiert'. Dann ist die Division durch Null nicht ausdrücklich verboten, aber auch keine Klarheit darüber hergestellt was passiert, wenn man es versucht. Das zu bessern war meine Idee: Natürlich darf man durch Null dividieren, jedermann ist aufgefordert es zu probieren, er bekommt auch garantiert ein Ergebnis - schwarz auf weiß, getrost nach hause zu tragen - das Ergebnis lautet 'nix'." - "Hoffentlich sind Sie damit noch nicht fertig" kann Lilly lautes Mitdenken nicht unterdrücken, "denn noch hätten wir in meinen Augen keinen Clou: was ist schon der Unterschied zwischen '1/0 ist nicht definiert' und '1/0=nix'?" - "Richtig! Es muss noch etwas kommen. Nämlich die Festlegung, dass mit 'nix' gerechnet wird wie mit einer normalen Zahl und zwar mit der naheliegenden Regel, dass jede Rechenoperation den Wert nix liefert, wenn mindestens eine der Eingangsgrößen den Wert nix hat. Also a + nix = nix + a = nix, a⋅nix = nix⋅a = nix. Eine Relation wie a < b, von der man üblicherweise sagt, sie hätte den Wert wahr oder falsch (z.B. 3<5 = wahr, 5<3 = falsch) bekommt natürlich auch den Wert nix, wenn ein Operand den Wert nix hat. Also 5 < nix = nix. Damit kann man jede Rechnung zu Ende führen, die man nach dem alten Verbotsschild 'du darfst nicht' hätte abbrechen müssen, und die einen nach der Regel 'nicht definiert' ratlos gelassen hätte. Beim Endergebnis der Rechnung bekommt man allerdings die Quittung: es kann 'nix' lauten. Dieses Ergebnis kann man etwas positiver klingend so interpretieren: Der Rechengang zur Bestimmung einer anfangs unbekannten Größe x hat keine Information über den Wert von x erbracht." - "Das erinnert mich an Odysseus in der Höhle des Polyphem." unterbricht Peter begeistert "Als der Zyklop den Odysseus nach seinem Namen fragt, antwortet dieser 'Niemand'. Und als Polyphem dann dieses Wort wie den normalen Namen seines inzwischen handgreiflich gewordenen Zwangsgastes verwendet, erreicht er nicht die Hilfe seines Zyklopen-Clans, sondern nur mitleidiges Unverständnis. Erfolg also: nix!" - "Bleibt nur noch festzustellen: nix = nil" bemerkt Lilly beeindruckt. "Ihr 'nix' ist genau Ruby's nil und somit besser nicht als Jux aufzufassen, sondern als ein durchaus nützlicher Begriff. Der Mathematiker und Computerwissenschaftler Dana S. Scott hat dafür das Schlagwort 'objectifying the undefined' geprägt und mit diesem Konzept computerwissenschaftlicher Begriffssysteme ähnlich vereinfacht, wie man die klassische Analysis ('Infinitesimalrechnung') durch Einführung einer "Zahl" ∞ vereinfachen kann." - "Nil ist übrigens ein richtiges englisches Wort." füge ich an. "Es ist ein Hauptwort, gebildet aus dem lateinischen 'nihil', und bedeutet 'Nichts'. Also auch sprachlich weitgehende Übereinstimmung mit KS's nix. Bei der üblichen Darstellung reeller Zahlen gemäß dem IEEE Standard für Gleitkomma-Arithmetik gibt es übrigens auch eine Form von nix mit Namen NaN (not a number) und andere Pseudozahlen für Ausnahmen. Auch die Techniken zur Ausnahmebehandlung, die alle modernen Programmiersprachen bereitstellen, kann man als Weiterentwicklungen des nix-Gedankens ansehen."

"Kann ich Lilly's Gedankenfaden nun wieder los binden?" fragt Peter und erntet keinen Widerspruch. - "Wir waren also bei der Aktion xc.chop!" nimmt Lilly den Faden wieder auf. "Nachdem sie ausgeführt ist, wird der Rückgabewert geprüft. Weil vor dem Term ein while steht wird untersucht, ob der eben erhaltene Rückgabewert die Adresse des nil-Objects (oder des ebenfalls möglichen false-Objekts) ist. Trifft dies zu, werden r << y und end übersprungen und also mit der Bearbeitung des Ausdrucks r fortgefahren. Im anderen Fall, wird r << y ausgeführt (wodurch r verändert wird, eben durch Anhängen von y) und - das ist der Effekt des 'Schleifen-Befehls' while- die Bearbeitung springt zurück (in unserem Fall also in die Zeile zuvor und nicht, wie es ohne einen Schleifen-Befehl der Fall wäre, in die nächste Zeile. Es wird also wieder xc.chop! ausgeführt und geprüft ob der Rückgabewert davon eine normale Adresse ist, oder die von nil (false kann ja nicht auftreten). Abhängig davon wird dann wieder entweder zurückgesprungen, oder es wird die Schleife verlassen. Weil xc bei jedem dieser Rücksprünge um ein Zeichen gekürzt wird, muss der letzte Fall einmal eintreten. Der Rückgabewert der Anweisung r << y while xc.chop! ist stets die Adresse von nil, weil ja bei der letzten Action xc.chop! berechnet wird und r << y nicht mehr. Der Rückgabewert unserer Funktion m(x,y) soll natürlich die Adresse der durch mehrfaches Verlängern erhaltenen Zeichenkette r sein, dazu dient die letzte Anweisung r. Damit die Bedeutung der Funktion m erklärt. Über der detaillierten Erklärung der Programmlogik auf unterster Ebene dürfen wir nicht vergessen, dass das Ganze ziemlich einfach war: Wir haben an die leere Strichliste mehrfach y angehängt und zwar einmal für jeden Strich von x. Brauchen wir eine Pause?" - "Nicht unbedingt" meint KS " in meinem Kopf haben sich einige Halbklarheiten angesammelt, von denen ich hoffe, dass sie sich von selbst klären, wenn wir mit der ganzen Sache durch sind. Wenn wir also gesagt haben wie m*n berechnet wird, wenn m und n gegebene N-Zahlen sind." - "Mir geht es ähnlich" stimmt Peter ein, "allerdings mit Unklarheiten statt Halbklarheiten. Aber ich würde auch gern einen Blick auf das Ganze werfen. Wenn ich eine Ausstellung besuche, renne ich auch erst mal durch alle Säle. Ich weiß dann besser wo es sich lohnt genauer hinzusehen." - "Gut" sagt Lilly "rennen wir also auch noch durch den letzten Saal der Ruby-Ausstellung: Trifft Ruby auf einen Ausdruck a*b mit Variablen a und b, so wird bei der in a gespeicherten Adresse nachgefragt zu welcher Klasse das dort gespeicherte Objekt gehört. Ist die Auskunft 'Klasse N', so tritt

class N
...
def *(n) N.new(m(@e,n.e));end
# Multiplizieren, n gehört zur Klasse N
...
end

"Für Rechenvorschrift oder Rechengang sagt man oft Algorithmus" ergänze ich. "Das Wort entwickelte sich aus dem Namen eines Arabischen Gelehrten des neunten Jahrhunderts, der in unseren Buchstaben als al-Khowarizmi oder Alchwarazmi wiedergegeben wird, und drückt nur die Herkunft dieses Mannes aus einer Usbekischen Stadt ähnlichen Namens aus. Man kann unsere Definition der Rechenoperationen + und * als algorithmische Definitionen bezeichnen. Ein Algorithmus braucht etwas, was er verarbeitet. Bei unseren Zahlen ist es das, was Biologin Lilly treffend als deren Erbgut bezeichnet. Glücklicherweise hat dieses Erbgut als endliche Zeichenkette eine Struktur mit der Mathematik von allem Anfang an umgehen muss und umgehen kann. Die in der Mathematik als Grundlage so beliebte 'Prädikatenlogik erster Stufe' verzichtet darauf, die Objekte ihres Interesses mit 'Erbgut' auszustatten, und verliert dadurch die Fähigkeit für die Natürlichen Zahlen eine Definition in ihrem Rahmen zu geben. Der Umstand, dass Zahlen dann trotzdem gleich am Anfang verwendet werden, etwa zum Nummerieren von Variablen oder zur Angabe der Länge von Argumentlisten, aber erst viel später im Rahmen einer 'Prädikatenlogik zweiter Stufe' eingeführt werden, ist dem glatten Verständnis der Sache nicht dienlich. Aus der geschichtlichen Entwicklung ist eine solche Misch-Konstruktion zwar gut verständlich, aber sich dauerhaft damit zufrieden zu geben entspricht nicht den Idealen der Wissenschaft." - "Diesen Schuh brauchen sich die großen Logiker und Mathematiker wohl nicht anziehen," wiegelt KS ab "aber mich hat auch schon manches angesehene Lehrbuch mit offensichtlichen Ungereimtheiten auf die Palme gebracht. Vielleicht sollten wir unsere Erkundung fortsetzen. Dann sammeln wir Erfahrungen und können über die gerade etwas hart angegangene Prädikatenlogik fundierter sprechen.

Ich würde gerne noch auf Peters anfänglichen Protest gegen unsere Feststellung B₁ zurückkommen: in welchem Sinne sind unsere N-Zahlen Strichlisten, oder werden sie nicht eher aus Strichlisten gebildet?" - "Genau genommen natürlich letzteres, aber mit dem Sein liegt man auch nicht ganz falsch; mit Blick auf das Wesentliche vielleicht sogar richtiger." - "Das ist genau die Klarheit, die man von Mathematikern erwartet" frozzelt Peter. - "Klarheit braucht eben ein paar Sätze mehr: Wir haben drei Methoden um eine N-Zahl in ein Programm einzuführen in dem es noch keine N-Zahlen gibt:

n=N.zero
n=N.one
n=N.new('////')

m=(n+n+n)*(n+n)+n

n=N.one; puts n.instance_variables → @e

"Auf eines bin ich jetzt gespannt" meldet sich Peter zu Wort "sind wir jetzt schon schlauer als Landaus Töchter, wissen wir also schon warum für N-Zahlen immer m*n = n*m gilt?" - "Das ist nicht nur im Sinne der Redensart 'eine gute Frage' sondern auch professionell formuliert." muss ich meinen einstigen Nachhilfeschüler loben. "Der Bezug auf die Art der Objekte, hier N-Zahlen, den du eingeflochten hast, ist natürlich wichtig. Wäre er nicht gegeben, wüsste man nicht, was das *-Zeichen bedeuten soll. In der Mathematik sind viele Multiplikations-Operationen in Gebrauch und nicht alle haben die Eigenschaft, dass die Reihenfolge der Faktoren keinen Einfluss auf das Ergebnis hat. Das Produkt von Matrizen, das uns sicher noch irgendwo begegnen wird, ist ein Beispiel dafür." - "In gängiger Redeweise fragen wir also, ob unsere Multiplikation von N-Zahlen 'kommutativ' ist, oder - wie man auch sagt - dem Kommutativgesetz genügt" ergänzt KS und fügt hinzu: "Ich würde allerdings vorschlagen als Vorübung mit dem Kommutativgesetz der Addition anzufangen." - "Als Vorübung OK, aber die eigentliche Aufgabe ist die Multiplikation. Wahrscheinlich hat sich Herr Landau etwas dabei gedacht" ist Peter nur halb zufrieden. - "Das ist ja peinlich" sage ich "ich wollte zum Kommutativgesetz der Addition eigentlich nur sagen, dass es selbstverständlich ist." - "Selbstverständlich? Wirklich?" zweifelt Lilly, klappt ihren Computer wieder auf und rechnet

m=N.new('////'); n=N.new('//////'); puts m+n == n+m →true

"Nun aber zurück zum Kommutativgesetz der Addition" dränge ich. "Ich hatte dabei nicht an die unübersichtlichen Verhältnisse in einem tatsächlichen Computer gedacht. Eher an einen idealen Computer oder, besser, an ein kariertes Blatt Papier. Schreiben wir hier jeden unserer Striche in sein eigenes Kästchen und Striche einer Strichliste selbstverständlich ohne leere Kästchen dazwischen in eine Kästchenzeile. Schreiben wir nun den Zustand von m+n nach B₂ in die erste Zeile unseres Blattes. Wir schreiben also m (vier Striche) beginnend mit dem ersten Kästchen der ersten Zeile und n (sechs Striche), beginnend mit dem ersten dann noch freien Kästchen dieser Zeile. Dann schreiben wir n+m nach demselben Rezept in die zweite Zeile: erst die sechs Striche (natürlich beginnend mit dem ersten Kästchen der zweiten Zeile), dann die vier, beginnend mit dem ersten nun freien Kästchen der zweiten Zeile. Die beiden Zeilen die so entstehen sind 'deckungsgleich': verschiebt man die erste als Ganzes um ein Kästchen nach unten, so hat man dort das, was in der zweite Zeile ohnehin stand. Das ist aber eine Beobachtung und keine Begründung. Genauso wie im komplizierten Computer, läuft also beim Schreiben der beiden Zeilen jeweils ein anderer Vorgang ab - die Nahtstelle zwischen den zwei aneinander zu hängenden Strichlisten liegt jeweils an anderer Stelle. Worauf beruht nun unsere Überzeugung, dass auch für beliebig lange Strichlisten die beiden entstehenden zwei Zeilen immer deckungsgleich sind?" - "Ich weiß nicht, ob ich diese Überzeugung habe" grübelt Peter. "Schlimmer noch, ich glaube, dass es gar keinen Unterschied macht ob das mit den zwei Zeilen immer so ist, oder ob bei ganz astronomisch langen Strichlisten mit denen nie ein Mensch zu tun hat kleine Unterschiede auftreten. Auftreten wäre dann ja schon wieder falsch. Eben gerade nicht auftreten, weil so lange Strichlisten nicht auftreten." - "Die Wertung solcher Abweichungen jenseits aller Erfahrungsmöglichkeiten ist eher eine Geschmacksfrage. Aber wir sollten doch Gründe dafür vorbringen können, dass es für Strichlisten die man in einem Computer (oder einem Verbund von Computern) durchaus speichern kann, solche Abweichungen nicht geben kann. Jedenfalls wäre das Durchprobieren aller Möglichkeiten mit vertretbarem Aufwand nicht möglich." - "Mit 'vertretbarem Aufwand' ist gut" schaltet sich Lilly ein. "Ich stelle mir vor, ich würde eine Forschungs-Förderorganisation von der Notwendigkeit zu überzeugen versuchen eine Woche Rechenzeit eines Supercomputing Zentrums zu finanzieren, um die ach so wichtige Kommutativität der Addition natürlicher Zahlen empirisch zu untermauern. Entweder ich würde die Sache nachträglich als Presse-Scherz ausgeben ('Wir wollten mal sehen mit welchem Blödsinn man an Fördermittel kommen kann'), oder ich fände mich in einer Nervenklinik wieder."

"Ich glaube mir ist die rettende Idee gekommen" juble ich dazwischen. "Man muss die Darstellung der Rechnung durch Zeichen noch ernster nehmen als bisher und auch die Argumente x und y in die Darstellung mit einbeziehen. Das geht so: Bisher kennen wir Strichlisten. Jetzt führen wir Strichtexte ein: Sie bestehen aus endlich vielen Zeilen, wobei in jeder dieser Zeilen genau eine nicht-leere Strichliste steht. Der Strichtext ohne Zeile - der leere Strichtext - ist auch dabei. Für ihn schreiben wir "". Also wäre

'////'
'//////'

In Analogie zu unseren Forderungen A₃ und A₄ können wir auch auf folgendes vertrauen:

A₃′

Jeden gegebenen nicht leeren Strichtext t kann man dadurch verändern, dass man den letzten Strich in einer seiner Zeilen weglässt und die Zeile tilgt, wenn sie dadurch zur leeren Strichliste geworden ist. Auch nach dieser Veränderung ist t ein Strichtext. Jede derartige Veränderung eines Strichtexts nennen wir eine Kürzung des Strichtexts.

A₄′

Jeden gegebenen Strichtext t kann man dadurch verändern, dass man einen weiteren gegebene Strichtext u am Ende als neue Zeilen anhängt. Das Ergebnis dieser Veränderung ist wieder ein Strichtext, für den wir t << u schreiben.

(Wir erinnern uns, dass Ruby '<<' für Strichlisten als eine verändernde Operation erklärt. Weil aber Strichtexte und Strichlisten etwas verschiedenes sind können wir die Operation für Strichlisten auch als etaws ganz anderes erklären, hier also, wie eben geschehen als Erzeugung eines neuen Strichtextes mit neuen Zeilen am Ende. Die mit objektorientierten Begriffen bereits infizierte Leserin wird sich fragen, warum ich nicht gleich eine Klasse definiere, die dem Begriff 'Strichtext' eine codierte Form gibt. Damit ein solches Vorgehen für unser Vorhaben, etwa das Kommutativitätsgesetz der Multiplikation zu beweisen, einen Nutzen brächte müssten wir sehr weit ausholen. Wir können ja jetzt schon mit der Klasse N anhand von vielen, bewußt oder zufällig gewählten Zahlen die Gültikeit in konkreten Fällen prüfen. Als Beweis taugt das natürlich nicht, weil ja immer ungeprüfte Zahlen übrigbleiben. Um Programmierfehler zu entdecken ist eine solche Prüfung allerdings eine äußerst wirkungsvolle Methode.)

Eingabe: Strichtext t
r=''
Solange t nicht leer ist {
  Kürze t in einer durch t alleine eindeutig bestimmten Zeile
  r << '/'
}
Ausgabe: r


A₅

Sei t ein Strichtext und seien Z1 und Z2 zwei Abzählalgorithmen. Dann gilt Z1(t) == Z2(t).

Solche Abweichungen kann es unter den Bedingungen der realen Welt durchaus geben. Stehen unsere Striche etwa als winzige Zeichen auf Mikrofilm und sind wir für das mit dem Kürzen verbundene Auslöschen der Zeichen im Strichtext auf einen nicht ganz sauber geformten Retusche-Pinsel angewiesen, so könnten wir durchaus einmal (ohne es zu bemerken) zwei Striche überpinseln und doch nur einen der Ergebnisliste hinzufügen. Schon hätten wir bei dieser realen Ausführung des Abzählalgorithmus ein anderes Ergebnis, als bei der korrekten Ausführung desselben Algorithmus', oder der korrekten Ausführung eines anderen Abzählalgorithmus' mit demselben Strichtext als Eingabe. Um die Verschiedenheit der Ergebnisse überhaupt feststellen zu können, müssen wir Strichtexte genau wie Strichlisten kopieren und vergleichen können, was bei hinreichend kleinen Dimensionen und schlechtem Handwerkszeug wieder zu Prozess-Schwankungen führen kann. Denken wir uns das ganze sinngemäß wieder in einen Computer übertragen vor, so könnte ein ungewöhnlich heftiger Schauer von kosmischer Strahlung eine Speicherzelle entladen und wieder gäbe es eine Abweichung. In Lilly's vorgestelltem Forschungsvorhaben muss sie also noch Strahlungs-Schutzmaßnahmem im Rechenzentrum vorsehen, damit die Ergebnisse aussagekräftig sind."

"Ich kann mich mit der Feststellung zum Dingcharakter der Striche anfreunden." stellt KS fest. "Ist es jetzt noch ein weiter Weg bis zum Kommutativgesetz der Addition?" - "Nein" kann ich getrost antworten. "Die Kommutativitätsgesetze für Addition und Multiplikation und auch das bisher noch nicht erwähnte Distributivgesetz ebenso wie die beiden Assoziativitätsgesetze folgen aus A₅ nun auf nächstliegende Weise." - "Natürlich! Jetzt sehe ich den Clou erst richtig" freut sich KS. "Die Bilder die man im Unterricht an die Wandtafel malt um die arithmetischen Grundgesetze plausibel zu machen übersetzen sich direkt in Zähl-Algorithmen. Das Produkt x*y zweier Strichlisten ergibt erst den oben schon eingeführten rechteckigen Strichtext μ(x,y). Abzählung zeilenweise ergibt x*y, Abzählung spaltenweise ergibt y*x. Beide sind Abzählungen desselben Rechtecks und damit nach A₅ gleich." - "Genauso geht es. Ich versuche es aber doch noch ganz genau aufzuschreiben um zu sehen, welche Formalien dazu nötig sind. Immerhin vergleichen wir uns hier mit der Lösung des Problems durch Edmund Landau, und diese Lösung wird allgemein als mustergültig angesehen. Ich definiere drei Zähl-Algorithmen Za, Ze, Zr (hier stehen a,e,r für Anfang, Ende, rechts) indem ich allein die Wahl der Kürzungszeile festlege (mehr Freiheit bleibt ja nicht).

Za: Kürze immer in der ersten Zeile bis der Strichtext leer ist.

Ze: Kürze immer in der letzten Zeile bis der Strichtext leer ist.

Zr: Beginne beim Kürzen bei der ersten Zeile. Nach jedem Kürzen springe in die nächste Zeile, wobei für die letzte Zeile die erste Zeile als nächste angesehen wird. Kürze die durch Sprung erreichte Zeile und fahre fort bis der Strichtext leer ist.

Welche Eigenschaften haben nun diese Abzählungen? Wir destillieren einige ganz einfache heraus, die sich als ausreichend herausstellen um die gewünschten allgemeinen Gesetze (Kommutativgesetz für Addition und Multiplikation, und Distributivgesetz) durch einfache Hintereinanderschaltung zu erhalten. Für alle Strichlisten x, y und alle Strichtexte t, u gilt

(1) Za([x]) == x
(2) Za(t << u) == Za(t) << Za(u)
(3) Za([x] << [y]) == Ze([y] << [x])
(4) Za(μ(x,y)) == Zr(μ(y,x))
(5) a(x,y) == x << y
(6) m(x,y) == Za(μ(x,y))
(7) μ(x << y,z) == μ(x,z) << μ(y,z)


(1) Wir betrachten die durch den Algorithmus Za definierte Folge von Zustandsänderungen. Der Anfangszustand ist ([x] ,'') wobei links die abzuzählende Größe steht und rechts der gegenwärtige Stand des Zählergebnisses. Weil der abzuzählende Strichtext einzeilig ist und der Algorithmus Za die Anzahl der Zeilen nicht vergrößern kann ist auch in allen Folgezuständen der abzuzählende Strichtext einzeilig, bis auf den letzten Zustand, wo er leer ist. Bei jedem Stand der Abzählung haben wir also eine Zahlenpaar (z,r). Nach dem nächsten Schritt haben wir das Zahlenpaar (z.chop!, r << '/') . Offensichtlich ist z << r == z.chop! << (r << '/') . Wird doch auf der rechten Seite der behaupteten letzten Gleichung von z einmal ein Strich weggelassen und anschließend an r angefügt. Damit ist die Größe z << r unabhängig vom Stand der Zählung. Weil im Endzustand z == '' gilt, ist r == x .

(2) Bei Ausführung von Za(t << u) werden erst die Zeile von t abgearbeitet. Ist man mit ihnen fertig hat man das Ergebnis Za(t) an das dann bei Fortsetzung der Abzählung die Striche angehängt werden, die auch bei der Ausführung von Za(u) entstünden. Das führt zu Endergebnis Za(t) << Za(u) .

(3) Weil nur zwei Zeilen im Spiel sind, führen beide Seiten der behaupteten Gleichung, als Algorithmen, zur selben Abfolge von Aktionen.

(4) Wenn Zr eimal über alle Zeilen des rechteckigen Strichtextes μ(y,x) läuft, wächst das Zählergebnis um y. Wenn Za eimal über eine Zeilen des rechteckigen Strichtextes μ(x,y) läuft, wächst das Zählergebnis ebenfalls um y. Beide diese Aktionen kommen bei gleichzeitiger Ausführung gleichzeitig zum Ende.

(5) Das ist die Definition der Addition a.

(6) Das ist die Definition der Multiplikation m.

(7) Weil alle Zeilen von μ(x,z) << μ(y,z) gleich sind, liegt ein Rechtecktext μ(w,z) vor. Dann gilt w = x << y und damit die Behauptung.

Das Kommutativgesetz der Addition ergibt sich durch eine Kette von Gleichsetzungen. Die begründende Eigenschaft für die Gleichheit ist durch ihre Nummer in obiger Liste angegeben.

a(x,y) ==(5) x << y
x << y ==(1) Za([x]) << Za([y])
Za([x]) << Za([y])==(2) Za([x] << [y])
Za([x] << [y]) ==(3) Ze([y] << [x])
Ze([y] << [x]) == A5 Za([y] << [x])
Za([y] << [x]) ==(2) Za([y]) << Za([x])
Za([y]) << Za([x]) ==(5) a(y,x)

Also a(x,y) == a(y,x), oder in üblicher Schreibweise x + y = y + x.

Kommutativgesetz der Multiplikation:

m(x,y) ==(6) Za(μ(x,y))
Za(μ(x,y)) == A5 Zr(μ(x,y))
Zr(μ(x,y)) ==(4) Za(μ(y,x))
Za(μ(y,x)) ==(6) m(y,x)

Also m(x,y) == m(y,x), oder in üblicher Schreibweise x*y = y*x.

Distributivgesetz:

m(a(x,y),z) ==(5,6) Za(μ(x << y,z)
Za(μ(x << y,z) ==(7) Za(μ(x,z) << μ(y,z))
Za(μ(x,z) << μ(y,z)) ==(2) Za(μ(x,z)) << Za(μ(y,z))
Za(μ(x,z)) << Za(μ(y,z))==(6) m(x,z) << m(y,z)
m(x,z) << m(y,z) ==(5) a(m(x,z),m(y,z))

Also m(a(x,y),z) == a(m(x,z),m(y,z)), oder in üblicher Schreibweise (x+y)*z = x*z + y*z.

Das Assoziativitätsgesetz der Addition (x + y) + z = x + (y + z) ergibt sich aus den Abzählungen Za und Ze des dreizeiligen Strichtexts [x] << [y] << [z]. Als Zwischenergebnis von Za nach dem Verschwinden der Zeilen [x] und [y] erhält man x + y und als Endergebnis (x + y) + z. Als Zwischenergebnis von Ze nach dem Verschwinden der Zeilen [z] und [y] erhält man z + y und als Endergebnis (z + y) + x. Nach dem schon bewiesenen Kommutativität der Addition gilt (z + y) + x = x + (z + y) = x + (y + z) womit das Assoziativitätsgesetz der Addition in der oben angegebenen Form bewiesen ist.

Das Assoziativitätsgesetz der Multiplikation lautet (x*y)*z = x*(y*z). Um ohne umständliche Operationen zu einem Beweis zu kommen, müssen wir den Schritt, der uns von Strichlisten zu Strichtexten geführt hat 'auf höherer Ebene' widerholen: Wir müssen 'Strichbücher' betrachten, deren Seiten Strichtexte enthalten - je Seite einen Text, die Rückseite also leer - so dass das 'Buch' nur eine Metapher für eine Reihe endlich vieler Strichtexte ist. Im selben Sinn war der Strichtext nur eine Metapher für eine endliche Reihe von Strichlisten und die Strichliste eine Metapher für eine endliche Reihe von Strichen. Genauso, wie der Übergang von Strichlisten zu Strichtexten sich durch Einführen eines neuen Zeichens 'n' (neue Zeile) beschreiben lies, brauchen wir jetzt nur das neue Zeichen 'p' (neue Seite). In diesem Sinn lässt sich die Konstruktion noch einige Schritte weiterführen ohne dass uns die Begriffe ausgehen: neues Buch, neue Reihe im Bücherregal, neues Bücherregal, neue Regalreihe im Lesesaal, neuer Lesesaal, ... .

Nun aber zu unseren drei Zahlen x, y, z. Wir betrachten ein Strichbuch b mit z Seiten wobei jede Seite den Strichtext μ(x,y) trägt. Den Algorithmus Za erweitern wir auf Bücher dadurch dass wir 'Seite für Seite' zählen. Wenn also der Text einer Seite gelöscht ist, wir beim ersten Zeichen der ersten Zeile der nächsten Seite mit dem Löschen fortfahren. Natürlich ist der Algorithmus am Ende angekommen, wenn kein Strich zum Löschen mehr da ist. Weil Za(μ(x,y)) = x*y gilt, ist für den erweiterten Algorithmus Za dann Za(b) = (x*y)*z. Nun erfinden wir eine neue Art Bücher zu lesen: Umlättern nach jeder gelesenen Zeile. Natürlich bedeutet "Umblättern" der letzten Seite den Rücksprung zum Beginn der ersten Seite. Weil alle Zeilen y Striche enthalten liefert jeder 'Durchgang' y*z Striche. Weil jede Seite x Zeilen hat sind wir fertig mit lesen nach (y*z)*x. Weil also (x*y)*z und (y*z)*x die Zählergebnisse zweier Zählalgorithmen desselben Strichbuchs sind, gilt (x*y)*z = (y*z)*x = x*(y*z) wobei das letzte Gleichheitszeichen wegen der schon bewiesenen Kommutativität der Multiplikation gerechtfertigt ist".

"Irgendwie finde ich 'Büchermethode' recht gewöhnungsbedürftig" wirft Lilly ein. "Ein etwas 'mathematischeres' Verfahren wäre mir lieber. Ich erinnere mich daran wie in der Anfängervorlesung an der Universität argumentiert wurde. Ich glaube ich bring das noch zusammen: Wir wollen x*(y*z) = (x*y)*z für alle natürlichen Zahlen beweisen. Das Zauberwort ist 'Induktion' oder Schluß von n auf n+1. Wenn ihr nichts dagegen habt, nenne ich das 'z' um in 'n' das hilft meiner Intuition und meiner Erinnerung. Wir wollen also zeigen x*(y*n) = (x*y)*n für alle natürlichen Zahlen x,y,n. Wenn das allgemeingültig sein soll, so muss es erst recht für n=0 (='') und für n=1(='/') gelten. Hier haben wir erleichternde Umstände weil wir wissen (und hoffentlich auch aus unserer Definition der Multiplikation von Strichlisten folgern können): Für jede natürliche Zahl a gilt a*0=0 und a*1=a. Namit rechnen wir mit n=1 (n=0 geht auch, nur noch leichter) x*(y*1) = x*y, (x*y)*1=x*y. Jetzt nehmen wir an wir hätten x*(y*n)=(x*y)*n für irgendeine natürliche Zahl n bewiesen, dann sagt meine Erinnerng dass eine einfache Rechnung (ein 'Selbstläufer') zeigt, dass unsere Gleichung auch für n+1 anstelle von n gilt. Die Devise lautet 'Man gucke eben nach' (das hat einer meiner Klassenkameraden in einem germanistischen Seminar geäußert und hat damit seinen bisher gepflegten Ruf als gebildeter junger Mann (obgleich 'vom Land') gründlich ruiniert. Also x*(y*(n+1)) = x*(y*n) + x*y (da brauchen wir das Distributionsgesetz, das wir erfreulicherweise schon bewiesen haben) = (x*y)*n (nach Annahme) + x*y = (x*y)*(n+1) und damit was wir zeigen wollten. Denn, haben wir einen beliebigen Wert von n so 'klettern' wir vom bewiesenen Fall n=1 zu n=2 (legitim), zu n=3 in endlich vielen Schritten zum gefragten Wert von n.". "Bravo!!!, kann ich meine Anerkennung für diese Ableitung aus dem Stegreif nicht verhehlen. Jetzt erinnere ich mich an eine Szene aus einer Vorlesung von Professor Seebach in München. Obwohl die 'vollständige Induktion in der Vorlesung nur gestreift worden war (es ging um Gruppentheorie) berichtete er nach der Vorlesung noch einem kleinen Kreis Interessierter von einer Tagung zur Pädagogik der Mathematik von der er gerade zurückgekommen war und die sich ausführlich mit der Rolle der Induktion in der Mathematik auseinandersetzte. Es sei von nicht nur einem der Vortragenden immer wieder betont worden, dass das, was Lilly uns hier aus der Erinnerung präsentiert hat ganz irreführend sei und im ernsthaften Unterricht durch eine moderne Variante zu ersetzen sei. Der Schritt von der Induktionsvoraussetzung (unserem Fall n=1) über eine Induktionsanahme (unser Fall n beliebig aber fest) zu dem Ergebnis (n beliebig) sei ein einziger logischer Großschritt und kein mühseliges Hangeln von Zahl zu Zahl. Um die transfiniten Welten Cantors zu erreichen oder gar zu durchmessen sei diese Hangelvorstellung gänzlich ungenügend und man solle besser die lernende Jugend damit verschonen." "Wir haben uns bisher vor den Mühen des Hangels nicht gescheut - war das Abzählen der Striche in vielzeiligen Strichtexten doch auch ein Hangeln. Aber, wenn man sich geigneter Begriffe bedient nichts mühseeliges sondern in Gedanken eigentlich doch in einem logischen Großschritt mit gesichertem Ergebnis durchführbar.

Last modification: 2022-11-07